Expected Value là gì? Trung bình có trọng số xác suất #24

Nội dung này phục vụ mục đích giáo dục, không phải lời khuyên đầu tư hoặc tín hiệu giao dịch.

Trả lời ngắn: Giá trị kỳ vọng (Expected Value) là mức trung bình của các kết quả sau khi mỗi kết quả được cân theo xác suất xảy ra. Công thức nhân từng giá trị với xác suất tương ứng rồi cộng lại. Nó mô tả trung bình dài hạn của mô hình, không bảo đảm kết quả ở lần kế tiếp.

Đọc xong, bạn sẽ hiểu:

• Vì sao giá trị kỳ vọng khác trung bình cộng thông thường.
• Cách tính E(X)=ΣxP(x) và kiểm lại bằng bảng 100 lượt.
• Vì sao hai mô hình cùng EV vẫn có thể mang rủi ro rất khác.

Ở Bayes Theorem #23, xác suất được cập nhật khi có bằng chứng. Bài này dùng chính xác suất đó làm trọng số cho các giá trị có thể xảy ra.

Gọi X là biến ngẫu nhiên gán một con số cho mỗi kết quả; x_i là giá trị thứ i mà X có thể nhận. Bài Random Variable #25 sẽ mở rộng cơ chế này; ở đây ta chỉ cần hai ký hiệu đó để tính trung bình có trọng số.

1. Expected Value là gì? Trung bình có trọng số xác suất

Giá trị kỳ vọng (Expected Value), viết tắt EV và ký hiệu E(X), gom một danh sách kết quả và xác suất thành một con số. Mỗi kết quả (outcome) là một giá trị có thể xuất hiện. Kết quả dễ xảy ra đóng góp nhiều hơn kết quả hiếm.

Ví dụ thời gian đi làm có ba khả năng:

• 20 phút với xác suất 50%.
• 35 phút với xác suất 30%.
• 60 phút với xác suất 20%.

Giá trị kỳ vọng là:

20×0,50 + 35×0,30 + 60×0,20 = 10 + 10,5 + 12 = 32,5 phút

Không tuyến nào mất đúng 32,5 phút. Con số ấy vẫn có ý nghĩa: nó là trung bình dài hạn (long-run average), tức mức trung bình khi quá trình tương tự được lặp nhiều lần.

Đây cũng là trung bình có trọng số (weighted mean). Trung bình cộng thông thường cho ba thời gian trọng số bằng nhau. EV cho 20 phút trọng số 50%, còn 60 phút chỉ 20%.

Hình 1 — Giá trị kỳ vọng cộng các phần đóng góp đã được cân bằng xác suất.

Từ “kỳ vọng” không có nghĩa mong muốn. EV có thể âm, dương hoặc bằng 0. Nó cũng không nói lần đi làm ngày mai chắc chắn mất 32,5 phút.

2. Công thức và ba bước đọc đúng

Với các giá trị rời rạc, công thức là:

E(X)=Σx_iP(x_i)

Trong đó:

• x_i là giá trị của kết quả thứ i.
• P(x_i) là xác suất của kết quả đó.
• Σ là ký hiệu tổng (sigma), yêu cầu cộng mọi tuyến.
• x_iP(x_i) là phần đóng góp (contribution) của một tuyến.

Ba bước tính:

1. Liệt kê đầy đủ các kết quả không chồng lấn.
2. Nhân từng giá trị với xác suất của nó.
3. Cộng toàn bộ phần đóng góp.

Trước khi nhân, kiểm từng xác suất nằm từ 0 đến 1 và tổng bằng 1. Nếu tổng chỉ bằng 0,85, bảng đang thiếu 15% khả năng hoặc có lỗi nhập liệu. EV từ bảng thiếu không đại diện cho toàn bộ quá trình.

Đơn vị của EV giống đơn vị của X. Nếu X là phút, EV là phút. Nếu X là số đơn vị giá trị ròng, EV cũng là đơn vị giá trị ròng. Trộn phần trăm, tiền và điểm số trong cùng cột sẽ tạo một con số không diễn giải được.

OpenStax định nghĩa EV của biến rời rạc — đại lượng nhận các giá trị tách biệt — là mức trung bình dài hạn và cho công thức E(X)=ΣxP(x) (OpenStax — Mean or Expected Value).

3. Ví dụ ba kịch bản và kiểm bằng 100 lượt

Xét một mô hình giả gồm ba kịch bản (scenario), tức ba trạng thái được định nghĩa trước. Đơn vị chỉ là điểm giá trị ròng, không phải lợi nhuận thật:

Bảng đầy đủ các kết quả và xác suất tương ứng gọi là phân phối xác suất (probability distribution).

Tổng xác suất là 0,25+0,50+0,25=1.

E(X)=-7,5+5+10=+7,5 đơn vị

EV dương 7,5 không nói lần tiếp theo sẽ được 7,5. Kết quả thực tế của một lượt chỉ có thể là -30, +10 hoặc +40 theo bảng này.

Kiểm lại bằng 100 lượt giả định

Nếu 100 lượt khớp đúng tỷ lệ mô hình:

• 25 lượt xấu: 25×(-30)=-750.
• 50 lượt bình thường: 50×10=+500.
• 25 lượt tốt: 25×40=+1.000.

Tổng là -750+500+1.000=+750. Trung bình:

750/100=+7,5

Hình 2 — Một trăm lượt giả định nối công thức với mức trung bình 7,5.

Bảng 100 lượt chỉ minh họa phép tính, không hứa 100 lượt thật sẽ rơi đúng 25/50/25. Theo OpenStax, EV được diễn giải như trung bình khi một thí nghiệm tương đương được lặp nhiều lần; EV cũng có thể không phải một giá trị quan sát được (OpenStax — Expected Value).

4. Năm lỗi, giới hạn và cùng EV khác rủi ro

Lỗi 1: lấy trung bình đơn giản. (-30+10+40)/3≈6,67 cho ba kết quả trọng số bằng nhau. Nhưng xác suất thật là 25%/50%/25%, nên EV đúng là 7,5.

Lỗi 2: xác suất không cộng bằng 1. Thiếu kịch bản hoặc đếm trùng làm cả tử liệu sai. Hãy kiểm tổng trước khi đọc EV.

Lỗi 3: xem EV là dự báo lần tới. Một lượt vẫn có thể là -30 dù EV dương. EV là trung bình mô hình, không phải mức sàn.

Lỗi 4: bỏ dấu, chi phí, đơn vị hoặc thời hạn. +40 doanh thu khác +40 giá trị ròng. EV theo ngày cũng không tự bằng EV theo năm.

Lỗi 5: dùng EV làm quyết định duy nhất. EV không cho biết mức phân tán, thiệt hại cực đoan, thanh khoản, khả năng chịu lỗ hay độ sai của xác suất.

So sánh hai phân phối:

• A: -30 với 25%, +10 với 50%, +40 với 25%; EV 7,5.
• B: 0 với 50%, +15 với 50%; EV 0×0,5+15×0,5=7,5.

Hình 3 — Cùng giá trị kỳ vọng không có nghĩa hai phân phối có cùng rủi ro.

Cả hai có tâm 7,5, nhưng A có kết quả âm -30 và khoảng từ -30 đến +40; B không âm và chỉ từ 0 đến +15. Khoảng biến thiên (range) là khoảng cách giữa kết quả nhỏ nhất và lớn nhất. Cùng EV không đồng nghĩa cùng rủi ro.

Hãy dừng nếu chưa giải thích được nguồn xác suất, giá trị ròng, đơn vị, thời hạn hoặc các kịch bản có bao phủ toàn bộ khả năng hay không. Công thức đúng không sửa được đầu vào yếu hay quá trình đã đổi.

5. Checklist và Practice Bridge 15 phút

Dùng sáu bước:

1. Định nghĩa X, đơn vị và thời hạn.
2. Liệt kê kịch bản loại trừ nhau và bao phủ đủ.
3. Gán xác suất có nguồn hoặc giả định được ghi rõ.
4. Kiểm mỗi xác suất từ 0 đến 1 và tổng bằng 1.
5. Tính từng x×p, rồi cộng thành EV.
6. Đổi một đầu vào, ghi giới hạn và điều EV không nói được.

Hình 4 — EV chỉ đáng đọc sau khi đủ kết quả, đủ xác suất và đúng đơn vị.

a. Thực hành trên Google Sheets

Mở Google Sheets miễn phí. Nhập bảng:

C5 phải bằng 1; D5 phải bằng 7,5.

b. Mẫu đối chiếu đã điền

c. Kiểm tra độ nhạy

Kiểm tra độ nhạy (sensitivity check) là đổi một đầu vào rồi tính lại. Đổi xác suất xấu/bình thường/tốt thành 0,35/0,40/0,25:

E(X)=(-30×0,35)+(10×0,40)+(40×0,25)=-10,5+4+10=3,5

EV giảm từ 7,5 xuống 3,5. Ghi hai câu: “EV mô hình sửa đổi là 3,5 đơn vị” và “EV không bảo đảm lượt tới dương”. Chỉ dùng dữ liệu giả, chưa dùng tiền thật hoặc dữ liệu tài khoản.

6. Tổng kết và bài tiếp theo

a. Năm ý chính

• Giá trị kỳ vọng là trung bình có trọng số xác suất.
• Công thức nhân từng giá trị với xác suất rồi cộng mọi phần đóng góp.
• Xác suất phải hợp lệ, đủ kịch bản và cộng bằng 1.
• EV diễn giải trung bình dài hạn, không dự báo chắc chắn lượt kế tiếp.
• Hai phân phối cùng EV vẫn có thể khác lớn về kết quả âm và khoảng biến thiên.

b. Câu hỏi tự kiểm tra

• Vì sao EV khác trung bình cộng ba giá trị?
• Vì sao EV 7,5 không cần là một kết quả trong bảng?
• Bảng 100 lượt kiểm công thức 7,5 thế nào?
• Hai phân phối cùng EV có thể khác nhau ở đâu?

c. Gợi ý đáp án

Xem gợi ý câu 1

EV dùng xác suất làm trọng số; trung bình cộng cho mọi giá trị trọng số bằng nhau. Xem mục 1–2.

Xem gợi ý câu 2

EV là mức trung bình mô hình; trung bình không nhất thiết trùng một kết quả riêng lẻ. Xem mục 3.

Xem gợi ý câu 3

Tổng giá trị 100 lượt là 750 nên trung bình bằng 750/100=7,5. Xem mục 3.

Xem gợi ý câu 4

Chúng có thể khác kết quả âm, khoảng biến thiên và các giới hạn thực tế. Xem mục 4.

d. Thuật ngữ cần nhớ

e. Nguồn tham khảo

• OpenStax — Mean or Expected Value
• OpenStax — Expected Value
• OpenStax — Probability Distributions

Bài trước: Bayes Theorem #23. Bài tiếp theo: Random Variable #25, nơi ta đặt tên chính thức cho đại lượng nhận các giá trị ngẫu nhiên. Xem lộ trình tại Quantitative Finance Zero to Hero.

Nội dung này phục vụ mục đích giáo dục, không phải lời khuyên đầu tư hoặc tín hiệu giao dịch. Mọi thị trường và sản phẩm tài chính đều có rủi ro mất vốn.