Variance là gì? Đo độ phân tán quanh mean #14

Nội dung này phục vụ mục đích giáo dục, không phải lời khuyên đầu tư hoặc tín hiệu giao dịch.

Trả lời ngắn: Variance, hay phương sai, đo mức các giá trị nằm xa mean đến đâu. Mean là tổng chia cho số lượng giá trị. Ta lấy từng giá trị trừ mean, bình phương các khoảng cách rồi tính mức bình quân theo đúng phạm vi tổng thể hoặc mẫu. Variance càng lớn, dữ liệu càng trải rộng quanh mean.

Đọc xong, bạn sẽ hiểu:

• Vì sao hai dãy cùng mean vẫn có thể khác hẳn về độ trải.
• Cách tính variance qua bốn bước và lý do phải bình phương.
• Cách chọn VAR.P hay VAR.S trong Google Sheets mà không trộn tổng thể với mẫu.

Mode #13 trả lời giá trị nào lặp nhiều nhất. Variance đổi câu hỏi: các giá trị nằm sát hay xa mean đến mức nào?

1. Variance là gì? Cùng mean chưa chắc giống nhau

Độ phân tán cho biết các giá trị nằm gần hay xa nhau và xa mean đến đâu. Xét hai dãy thời gian giao hàng, đơn vị là ngày:

• A: 4, 4, 4, 4, 4
• B: 0, 2, 4, 6, 8

Cả hai đều có mean bằng 4. Nhưng A có mọi giá trị đúng tại 4; B trải từ 0 tới 8. Nếu chỉ báo mean, ta bỏ mất khác biệt đó.

Variance của A bằng 0 vì không giá trị nào lệch khỏi mean. Variance tổng thể của B bằng 8 vì các giá trị nằm xa mean ở nhiều mức. Trong ví dụ này, A ổn định hơn theo nghĩa hẹp: thời gian giao hàng luôn sát mean 4 ngày. Câu đó chỉ mô tả năm dữ liệu đã có, không đảm bảo lần giao sau vẫn ổn định.

Hình 1 — Mean giống nhau không xóa được khác biệt về mức các giá trị trải quanh tâm.

Variance không cho biết giá trị nằm bên trái hay bên phải mean. Nó gộp độ xa ở cả hai phía thành một con số từ 0 trở lên. Vì vậy, variance phù hợp để so mức trải khi phạm vi và đơn vị đủ tương đồng, nhưng không kể toàn bộ hình dạng dữ liệu.

Một variance lớn cũng không tự động có nghĩa “xấu”. Với thời gian giao hàng, biến động lớn có thể gây khó lên kế hoạch. Với một bộ dữ liệu khác, độ trải lớn chỉ đơn giản cho biết các quan sát đa dạng. Câu hỏi và bối cảnh phải đi trước phán xét.

2. Tính variance qua bốn bước

Dùng dãy B:

0, 2, 4, 6, 8

Bước 1: Tính mean

Mean = (0 + 2 + 4 + 6 + 8) ÷ 5 = 4

Bước 2: Tính độ lệch

Độ lệch là giá trị trừ mean.

Nếu cộng thẳng các độ lệch, kết quả là:

-4 + (-2) + 0 + 2 + 4 = 0

Các số âm và dương triệt tiêu nhau. Kết quả 0 không có nghĩa dữ liệu không phân tán; nó chỉ cho thấy mean là điểm cân bằng của tổng độ lệch.

Bước 3: Bình phương từng độ lệch

Bình phương một số là nhân số đó với chính nó. Ta có:

(-4)² = 16, (-2)² = 4, 0² = 0, 2² = 4, 4² = 16

Bình phương làm mọi đóng góp không âm nên hai phía không triệt tiêu. Nó cũng khiến điểm xa mean đóng góp mạnh hơn: độ lệch 2 đóng góp 4, còn độ lệch 10 đóng góp 100. Xa gấp 5 nhưng đóng góp gấp 25.

Bước 4: Cộng rồi chia đúng phạm vi

Tổng bình phương độ lệch:

16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40

Nếu năm giá trị là toàn bộ nhóm cần mô tả, ta tính variance tổng thể bằng cách chia cho 5:

Variance tổng thể = 40 ÷ 5 = 8

Hình 2 — Trừ mean, bình phương, cộng rồi chia đúng phạm vi cho variance bằng 8.

Viết bằng ký hiệu tối giản:

σ² = Σ(x - μ)² ÷ N

Trong đó:

• x là từng giá trị;
• μ là mean của tổng thể;
• Σ nghĩa là cộng tất cả;
• N là số phần tử của tổng thể;
• σ² là variance tổng thể.

Ký hiệu chỉ rút gọn bốn bước vừa làm. Nếu chưa quen, bảng số quan trọng hơn việc nhớ chữ Hy Lạp.

3. Variance tổng thể và variance mẫu khác nhau thế nào?

Tổng thể là toàn bộ nhóm mà câu hỏi muốn mô tả. Nếu năm đơn hàng là toàn bộ đơn của một ca thử nghiệm, N=5 và variance tổng thể bằng 8.

Mẫu là một phần dữ liệu được lấy từ một nhóm lớn hơn. Nếu năm đơn chỉ được chọn từ hàng nghìn đơn, ta dùng chúng để ước lượng, tức lấy dữ liệu có hạn để gần đúng đặc điểm của nhóm lớn hơn.

Variance mẫu chia tổng bình phương độ lệch cho n-1:

s² = Σ(x - x̄)² ÷ (n - 1)

Trong đó:

• x̄ là mean của mẫu;
• n là số phần tử trong mẫu;
• n-1 là mẫu số hiệu chỉnh;
• s² là variance mẫu.

Với dãy B, tổng bình phương vẫn là 40 và n=5:

Variance mẫu = 40 ÷ (5 - 1) = 10

Hình 3 — Cùng tổng bình phương 40 nhưng phạm vi dữ liệu quyết định chia 5 hay chia 4.

Chia cho n-1 là cách hiệu chỉnh khi dùng mẫu để ước lượng variance của tổng thể. Bài này chỉ cần nhớ ranh giới dùng; phần chứng minh chưa cần quan tâm bây giờ.

Cùng năm con số nhưng mục đích khác thì công thức khác. Đừng chọn kết quả nhỏ hơn vì trông dễ chịu, cũng đừng chọn kết quả lớn hơn vì có vẻ “an toàn”. Hãy viết rõ phạm vi dữ liệu.

4. Bốn lỗi và giới hạn cần chặn

Lỗi 1: cộng độ lệch rồi chia. Tổng độ lệch quanh mean bằng 0, nên cách này xóa mất độ trải. Phải bình phương trước khi cộng.

Lỗi 2: dùng nhầm N và n-1. Không thể nhìn dữ liệu rồi đoán. Hãy trả lời: đây là toàn bộ nhóm cần mô tả hay chỉ là một mẫu từ nhóm lớn hơn?

Lỗi 3: quên đơn vị bị bình phương. Nếu dữ liệu tính bằng ngày, variance có đơn vị ngày². Đơn vị bình phương là đơn vị gốc nhân với chính nó; nó không phải số ngày thực tế để đọc trực tiếp. Bài Standard Deviation #15 sẽ lấy căn bậc hai của variance để đưa đơn vị về dạng ban đầu.

Lỗi 4: gọi variance là rủi ro đầy đủ. Trong dữ liệu lợi suất, variance mô tả độ phân tán quanh mean. Nó không tự cho biết hướng biến động, khả năng mua bán dễ hay khó, sự kiện bất ngờ hoặc mức vốn có thể mất.

Ngoại lệ là giá trị cách xa phần lớn dữ liệu. Vì độ lệch bị bình phương, ngoại lệ có thể kéo variance lên mạnh. NIST lưu ý variance cho trọng số lớn hơn đối với các điểm nằm xa mean.

Checklist trước khi báo variance:

1. Dữ liệu cùng đơn vị và cùng phạm vi chưa?
2. Mean đã tính đúng trên đúng tập dữ liệu chưa?
3. Độ lệch có lấy giá trị - mean không?
4. Mọi độ lệch đã được bình phương trước khi cộng chưa?
5. Dữ liệu là tổng thể hay mẫu?
6. Kết quả có ghi rõ đơn vị bình phương và giới hạn không?

Đứng ngoài nếu cần biết hướng tăng/giảm, vị trí giữa hoặc giá trị phổ biến; variance không trả lời các câu hỏi đó. Dừng xem lại nếu phạm vi tổng thể/mẫu chưa rõ, đơn vị bị trộn, có lỗi nhập hoặc một ngoại lệ chi phối gần hết kết quả.

5. Thực hành 15 phút bằng Google Sheets

Mở Google Sheets miễn phí. Nhập A vào A2:A6 và B vào B2:B6:

• A: 4, 4, 4, 4, 4
• B: 0, 2, 4, 6, 8

Tại B7, nhập =AVERAGE(B2:B6) để lấy mean 4. Ở C2, nhập =B2-$B$7 để tính độ lệch. Ở D2, nhập =C2^2 để bình phương. Kéo hai công thức xuống hàng 6; =SUM(D2:D6) phải ra 40.

Kiểm bằng hai hàm:

• =VAR.P(B2:B6) trả variance tổng thể 8.
• =VAR.S(B2:B6) trả variance mẫu 10.

Danh sách hàm hiện hành của Google Sheets nêu VAR.P cho tổng thể và VAR.S cho mẫu. Tài liệu VAR giải thích phép tính mẫu chia tổng bình phương độ lệch cho số giá trị trừ một.

a. Mẫu đối chiếu đã điền

Nếu Sheets không khớp, kiểm lại vùng dữ liệu, ô mean cố định $B$7 và phép ^2. Đây là dữ liệu giả để học cơ chế; chưa dùng tiền thật và không phải dự báo.

6. Tổng kết và bài tiếp theo

a. Năm ý chính

• Variance đo độ phân tán quanh mean bằng bình phương độ lệch.
• Hai dãy cùng mean vẫn có thể có variance rất khác.
• Bình phương ngăn độ lệch âm/dương triệt tiêu và làm điểm xa đóng góp mạnh hơn.
• Variance tổng thể chia N; variance mẫu chia n-1.
• Variance có đơn vị bình phương và không phải thước đo rủi ro đầy đủ.

b. Câu hỏi tự kiểm tra

• Vì sao không cộng thẳng các độ lệch để đo độ phân tán?
• Với dãy B, tổng bình phương độ lệch và variance tổng thể bằng bao nhiêu?
• Khi nào dùng VAR.S thay vì VAR.P?
• Vì sao variance 8 ngày² không thể đọc là “lệch 8 ngày”?

c. Gợi ý đáp án

Xem gợi ý câu 1

Độ lệch âm và dương triệt tiêu, làm tổng bằng 0 dù dữ liệu vẫn trải rộng; cần bình phương trước. → xem mục 2.

Xem gợi ý câu 2

Tổng bình phương là 40; chia cho N=5 nên variance tổng thể bằng 8. → xem mục 2.

Xem gợi ý câu 3

Dùng VAR.S khi dữ liệu chỉ là một mẫu lấy từ tổng thể lớn hơn; VAR.P dùng khi dữ liệu là toàn bộ tổng thể đang xét. → xem mục 3 và mục 5.

Xem gợi ý câu 4

Variance bình phương độ lệch nên đơn vị cũng bị bình phương; ngày² không phải khoảng thời gian thực tế. → xem mục 4.

d. Thuật ngữ cần nhớ

e. Nguồn tham khảo

• NIST — Measures of Scale
• Google Sheets function list
• Google Docs Editors Help — VAR

Bài trước: Mode #13. Bài tiếp theo: Standard Deviation #15, nơi ta đưa variance về đơn vị ban đầu để dễ diễn giải hơn.

Nội dung này phục vụ mục đích giáo dục, không phải lời khuyên đầu tư hoặc tín hiệu giao dịch. Mọi thị trường và sản phẩm tài chính đều có rủi ro mất vốn.