Convexity trái phiếu là gì? Phần sửa độ cong #13

Nội dung này phục vụ mục đích giáo dục, không phải lời khuyên đầu tư hoặc tín hiệu giao dịch.

Trả lời ngắn: Convexity là thước đo phần cong còn thiếu khi Modified Duration — ước tính tuyến tính — đo giá theo YTM, mức lợi suất quy dòng tiền về hiện tại. Phần hiệu chỉnh này giúp ước tính sát hơn khi lợi suất dịch chuyển, nhưng không thay thế việc chiết khấu lại dòng tiền.

Đọc xong, bạn sẽ hiểu:

• Vì sao chỉ dùng Duration cho 98,6384, còn chiết khấu lại toàn bộ dòng tiền cho 98,6510.
• Cách tính Convexity 10,205624 và phần hiệu chỉnh +0,012757%.
• Khi nào phải dừng vì dòng tiền hoặc loại Convexity không rõ.

1. Convexity trái phiếu là gì, và Duration còn thiếu gì?

a. Đường thẳng chỉ sát ở gần điểm chạm

Modified Duration là thước đo tuyến tính: nó dùng một đường thẳng để ước lượng phần trăm giá đổi khi lợi suất đáo hạn (YTM) đổi nhỏ. YTM là mức lợi suất quy các dòng tiền về giá hiện tại. Dòng tiền là khoản trái phiếu trả ở từng mốc.

Quan hệ giữa giá và YTM thật ra là một đường cong. CFA Institute mô tả Duration là xấp xỉ tuyến tính, còn Convexity bổ sung tác động phi tuyến của đường cong giá–YTM (CFA Institute).

Hình dung đặt một cây thước thẳng lên đoạn đường cong. Ngay điểm chạm, thước và đường trùng nhau. Đi xa hơn, khoảng cách mở ra. Ví dụ này chỉ giải thích hình dạng; con số phải lấy từ dòng tiền của trái phiếu.

Phần hiệu chỉnh Convexity là lượng được cộng vào ước tính Duration để bù khoảng cong đó. Nó không phải một mức lợi nhuận và không biến ước tính thành bảng giá chắc chắn.

Một basis point (bp) bằng 0,01 điểm phần trăm; vì vậy 50 bp bằng 0,50 điểm phần trăm hay 0,005 ở dạng thập phân.

Hình 1 — Convexity lấp phần cong mà đường thẳng Duration bỏ sót, đưa ước tính gần phép định giá lại hơn.

Ở bài Modified Duration #12, YTM tăng 50 bp cho:

• Chỉ dùng Duration: 98,638376.
• Định giá lại toàn bộ dòng tiền: 98,651033.
• Khoảng thiếu của đường thẳng: xấp xỉ 0,012657 đơn vị giá.

Investor.gov cũng nêu giá trái phiếu trả lãi cố định nhìn chung đi ngược lãi suất (Investor.gov). Convexity không đảo quan hệ đó; nó chỉ sửa độ cong của ước tính.

2. Convexity sửa ước tính giá như thế nào?

a. Tính Convexity cho DEMO-CVX-01

Ta tiếp tục cùng trái phiếu giả định: mệnh giá 100, coupon 5% mỗi năm, đáo hạn sau 3 năm, YTM 5%, giá 100 và ghép lãi hằng năm. Ghép lãi hằng năm nghĩa là lợi suất được cộng dồn một lần trong mỗi năm. Coupon là tiền lãi định kỳ; mệnh giá là khoản gốc hoàn lại khi đáo hạn.

Với dòng tiền hằng năm, Convexity được tính:

Convexity = (1/P) × tổng [Dòng tiền_t × t(t+1) / (1+YTM)^(t+2)]

P là giá ban đầu; t là số năm đến dòng tiền. Ở tử số, mỗi dòng tiền được nhân với t(t+1), nên khoản trả xa có trọng số lớn hơn. Ở mẫu số, (1+YTM)^(t+2) đưa khoản trả đó về hiện tại và cộng thêm hai bậc thời gian cho độ cong. Cuối cùng, chia tổng cho giá P. Ba phần của demo là:

Chia tổng cho giá 100:

Convexity hằng năm = 1.020,562420 / 100 = 10,205624

Đây là Convexity theo quy ước hằng năm, thường được hiểu với đơn vị năm bình phương. Nó không có nghĩa giá tăng 10,205624%.

b. Thêm phần hiệu chỉnh vào Duration

Ký hiệu Δy là thay đổi YTM viết dưới dạng số thập phân. Công thức kết hợp:

ΔP/P ≈ -Modified Duration × Δy + 0,5 × Convexity × (Δy)²

ΔP/P là tỷ lệ giá thay đổi so với giá ban đầu. Đọc bằng lời: lấy phần Duration có dấu ngược YTM, rồi cộng một nửa Convexity nhân với bình phương thay đổi YTM.

Hình 2 — Phải bình phương Δy trước; cộng thẳng Convexity 10,205624 vào phần trăm giá là sai đơn vị.

Với YTM tăng 50 bp:

• Δy = +0,005; (Δy)² = 0,000025.
• Duration: -2,72324803 × 0,005 = -1,361624%.
• Phần hiệu chỉnh Convexity: 0,5 × 10,205624 × 0,000025 = +0,012757%.
• Tổng thay đổi: -1,348867%.
• Giá Duration + Convexity: 98,651133.
• Giá định giá lại: 98,651033.

Sai số còn khoảng 0,000100, nhỏ hơn nhiều so với sai số chỉ dùng Duration -0,012657. Từ đây, D+C là cách viết ngắn của giá ước tính bằng Duration cộng phần hiệu chỉnh Convexity.

Hình 3 — Bình phương làm phần hiệu chỉnh dương ở cả hai hướng; dấu của phần Duration vẫn đi theo hướng ngược YTM.

Với YTM giảm 50 bp, Duration là +1,361624%, còn phần hiệu chỉnh vẫn +0,012757%. Giá kết hợp là 101,374381; giá định giá lại là 101,374482.

3. Khi nào Convexity quan trọng, và khi nào không dùng máy móc?

a. Cú dịch chuyển càng lớn, phần bình phương càng lớn

Khi giữ Convexity không đổi, tăng độ lớn từ 50 bp lên 100 bp làm phần hiệu chỉnh tăng bốn lần: từ 0,012757% lên 0,051028%. Lý do rất gọn: 0,01² lớn gấp bốn 0,005².

CFA Institute cho biết phần hiệu chỉnh thường đáng kể hơn với thay đổi YTM lớn và trái phiếu kỳ hạn dài. Với các điều kiện khác tương đương, trái phiếu trả lãi định kỳ thấp hơn, kỳ hạn dài hơn và YTM thấp hơn thường có Convexity cao hơn (CFA Institute). Đây là quan hệ có điều kiện, không phải quy tắc dùng để xếp hạng đầu tư.

b. Dương không có nghĩa luôn luôn dương

Trái phiếu trả lãi cố định không kèm quyền chọn có lịch dòng tiền không bị điều khoản quyền chọn làm thay đổi; CFA Institute nêu Convexity của nhóm này luôn dương. Vì vậy, khi YTM giảm, mức tăng giá lớn hơn ước tính chỉ dùng Duration; khi YTM tăng, mức giảm giá nhỏ hơn ước tính đó.

Trái phiếu cho phép mua lại sớm (callable) cho bên vay quyền hoàn gốc sớm theo điều khoản. Khi YTM đổi, khả năng bị gọi có thể làm lịch dòng tiền đổi. Khi đó, khẳng định “luôn dương” không còn dùng máy móc; Convexity hiệu dụng (effective convexity) phù hợp hơn cho dòng tiền có thể đổi. Bài này không tính thước đo đó.

Hình 4 — Trước khi tin dấu Convexity, phải biết dòng tiền cố định hay có thể đổi vì điều khoản.

Bốn lỗi hay gặp:

1. Cộng 10,205624% trực tiếp vào giá.
2. Quên bình phương Δy.
3. Đổi dấu phần hiệu chỉnh khi YTM giảm.
4. Gán Convexity dương của trái phiếu không kèm quyền chọn cho trái phiếu mua lại sớm.

Duration và Convexity cũng không đo nguy cơ bên vay không trả nợ, khó bán nhanh hoặc sức mua bị bào mòn. FINRA nhắc các rủi ro khác vẫn tồn tại bên cạnh rủi ro do giá nhạy với thay đổi lãi suất (FINRA).

4. Checklist đọc một con số Convexity

1. Đọc đúng loại: hằng năm, hiệu dụng hay một quy ước khác?
2. Kiểm đơn vị: con số là Convexity hay phần hiệu chỉnh đã đổi ra tỷ lệ?
3. Khóa cặp thước đo: Modified Duration và Convexity có cùng trái phiếu, giá, YTM và thời điểm không?
4. Đổi Δy: 50 bp phải thành 0,005, rồi mới bình phương.
5. Kiểm dòng tiền: có quyền mua lại sớm hoặc khoản trả nào có thể đổi không?
6. Định giá lại: nếu cần con số quyết định, hãy chiết khấu toàn bộ dòng tiền bằng YTM mới.

Dừng tính nếu thiếu loại Convexity, đơn vị, giá làm mẫu số, YTM, Modified Duration hoặc điều khoản dòng tiền. Dừng diễn giải nếu kết quả đang bị gọi là “giá chính xác” dù chỉ là Duration + Convexity.

5. Bài tập 15 phút: thêm phần hiệu chỉnh độ cong

Dùng Google Sheets hoặc LibreOffice Calc, đều có bản dùng miễn phí. Nhập dữ liệu giả: giá 100, Modified Duration 2,72324803, Convexity 10,205624. Chưa dùng tiền thật.

Mẫu đối chiếu đã điền

Trong bảng tính:

• Δy = ô_bp/10000.
• Phần hiệu chỉnh =0.5*10.205624*(ô_Δy^2).
• Thay đổi giá kết hợp =-2.72324803*ô_Δy+ô_hiệu_chỉnh.
• Giá kết hợp =100*(1+ô_thay_đổi_giá).

Nếu 100 bp không cho phần hiệu chỉnh gấp bốn 50 bp, hãy kiểm dấu ngoặc, phép chia 10000 và số mũ 2. Bài tập đạt khi bạn giải thích được vì sao phần hiệu chỉnh cùng dương ở hai hướng nhưng phần Duration trái dấu.

6. Tổng kết: Convexity bổ sung, không thay Duration

a. Năm ý chính

• Convexity đo phần cong mà ước tính Duration bỏ sót.
• Demo có Convexity hằng năm 10,205624, không phải mức tăng giá 10,205624%.
• Phần hiệu chỉnh là 0,5 × Convexity × (Δy)² và dương ở cả hai hướng.
• Convexity dương chỉ được khẳng định ở đây cho trái phiếu trả lãi cố định không kèm quyền chọn.
• Duration + Convexity vẫn là ước tính; định giá lại dòng tiền mới là phép kiểm.

b. Câu hỏi tự kiểm tra

• Convexity bổ sung điều gì cho Modified Duration?
• Vì sao +50 bp và -50 bp có cùng phần hiệu chỉnh?
• Phần hiệu chỉnh của 100 bp lớn gấp bao nhiêu lần 50 bp?
• Khi nào không được dùng khẳng định “Convexity luôn dương”?

c. Gợi ý đáp án

Xem gợi ý câu 1

Convexity bổ sung phần cong còn thiếu trong ước tính tuyến tính bằng Modified Duration. → xem mục 1.

Xem gợi ý câu 2

Vì `+0,005` và `-0,005` khi bình phương đều thành `0,000025`. → xem mục 2.

Xem gợi ý câu 3

Gấp bốn lần, vì `0,01²` bằng bốn lần `0,005²`. → xem mục 3.

Xem gợi ý câu 4

Không dùng máy móc khi dòng tiền có thể đổi vì quyền mua lại sớm hoặc điều khoản khác. → xem mục 3.

d. Thuật ngữ cần nhớ

e. Nguồn tham khảo

• CFA Institute — Yield-Based Bond Convexity and Portfolio Properties
• CFA Institute — Yield-Based Bond Duration Measures and Properties
• FINRA — Brush Up on Bonds: Interest Rate Changes and Duration
• Investor.gov — When Interest Rates Go Up, Prices of Fixed-Rate Bonds Fall

Học tiếp: Interest Rate Framework #14.
Ôn bài trước: Modified Duration và độ nhạy giá #12.

Nội dung này phục vụ mục đích giáo dục, không phải lời khuyên đầu tư hoặc tín hiệu giao dịch. Mọi thị trường đều có rủi ro mất vốn.