Linear Regression là gì? Từ chấm dữ liệu đến đường ước lượng #33

Nội dung này phục vụ mục đích giáo dục, không phải lời khuyên đầu tư hoặc tín hiệu giao dịch.

Trả lời ngắn: Hồi quy tuyến tính đơn (simple linear regression) dùng một đường thẳng để ước lượng phản hồi trung bình Y từ một biến đầu vào X. Đường này tóm tắt dữ liệu theo tiêu chí bình phương tối thiểu; nó không chứng minh nhân quả, không bảo đảm dự báo và chỉ nên đọc trong phạm vi đã kiểm tra.

Đọc xong, bạn sẽ hiểu:

• Đọc đúng hệ số góc, hệ số chặn và giá trị khớp.
• Biết vì sao sai số dư và bình phương tối thiểu chọn ra một đường.
• Tự dựng mô hình bằng Google Sheets và nhận ra lúc phải dừng.

Correlation #31 và Covariance #32 cho biết hai cột đi cùng nhau ra sao. Linear Regression viết liên hệ ấy thành đường ước lượng, không thành lời hứa.

1. Linear Regression là gì? Một đường tóm tắt hai cột số

Mô hình là quy tắc đơn giản hóa thực tế. Hồi quy tuyến tính đơn có một biến đầu vào (predictor) X, một biến phản hồi (response) Y; mỗi cặp là một chấm trên biểu đồ phân tán.

Đường hồi quy tóm tắt Y thường đổi ra sao theo X. Giá trị trên đường tại X đã quan sát là giá trị khớp (fitted value), ký hiệu ŷ; y là giá trị thực tế.

Hình 1 — Đường thẳng tóm tắt đám chấm; khoảng từ chấm thật đến đường vẫn phải được kiểm tra.

Với X mới, kết quả gọi là dự báo (forecast). Giá trị khớp nói về X đã có trong mẫu; dự báo nói về X mới. Cả hai đều là ước lượng.

2. Đọc phương trình: hệ số góc và hệ số chặn nói gì?

Phương trình cơ bản là:

ŷ = b₀ + b₁x

• x: giá trị đầu vào.
• ŷ: phản hồi do đường ước lượng.
• b₁: hệ số góc (slope), tức mức ŷ thay đổi khi X tăng một đơn vị.
• b₀: hệ số chặn (intercept), tức ŷ khi x=0.

Cước taxi ŷ=15.000+12.000x có hệ số góc 12.000 đồng/km và hệ số chặn 15.000 đồng. Ví dụ chỉ minh họa đơn vị.

Hình 2 — Hệ số góc luôn cần cả đơn vị X lẫn đơn vị Y; hệ số chặn chỉ có nghĩa khi x bằng 0 hợp lý.

Trong ví dụ mục 4, câu đọc đúng là: “Trong tám kỳ giả định và phạm vi đã quan sát, X tăng một điểm phần trăm đi cùng Y khớp tăng khoảng 0,715 điểm phần trăm.”

Không được rút gọn thành “X làm Y tăng 0,715%”: câu đó sai đơn vị và ngầm nói nhân quả. Hệ số góc âm cũng chỉ cho biết hướng nghiêng.

Hệ số chặn là giá trị tại x=0. Nếu 0 nằm xa dữ liệu hoặc không thể xảy ra, đừng diễn giải kinh tế quanh b₀. Trong ví dụ, 0 nằm trong khoảng X, nhưng hệ số không phải quy luật.

3. Bình phương tối thiểu chọn đường như thế nào?

Một đám chấm có thể chứa nhiều đường. Sai số dư (residual) của quan sát thứ i là khoảng cách dọc có dấu giữa giá trị thật và giá trị khớp:

eᵢ = yᵢ − ŷᵢ

Sai số dư dương nghĩa chấm thật nằm trên đường; âm nghĩa nó nằm dưới.

Sai số dư +2 và −2 cộng thành 0 dù đường lệch ở cả hai điểm. Vì vậy bình phương tối thiểu (least squares) chọn b₀, b₁ để tổng bình phương sai số nhỏ nhất:

SSE = Σeᵢ²

Σ nghĩa là cộng qua mọi quan sát. SSE là tổng bình phương sai số dư. Phép bình phương giữ mọi đóng góp không âm và khiến sai số lớn có ảnh hưởng mạnh.

Với một biến đầu vào, công thức hệ số là:

b₁ = Σ[(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)] / Σ(xᵢ−x̄)²

b₀ = ȳ − b₁x̄

x̄, ȳ là trung bình X/Y; Sxy là tử số tích độ lệch; Sxx là mẫu số bình phương độ lệch X. Đường đi qua (x̄,ȳ). Penn State trình bày cùng công thức và tiêu chí tối thiểu hóa sai số dư bình phương (Penn State STAT 501).

4. Ví dụ tám kỳ: dựng đường và kiểm một sai số dư

Dùng lại tám cặp lợi suất hoàn toàn giả định, tính bằng điểm phần trăm:

Trung bình là x̄=0,1875 và ȳ=0,15:

Sxy = Σ[(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)] = 4,225

Tổng bình phương độ lệch X là:

Sxx = Σ(xᵢ−x̄)² = 5,90875

Do đó:

b₁ = 4,225/5,90875 = 0,7150412524

b₀ = 0,15 − 0,7150412524×0,1875 = 0,0159297652

Đường khớp là:

ŷ = 0,0159297652 + 0,7150412524x

Ở kỳ 2, x=−0,4, nên ŷ=−0,2700867358. Y thật bằng −0,1; sai số dư là:

e₂ = −0,1 − (−0,2700867358) = 0,1700867358

Tại x=1,0, ŷ=0,7309710176 điểm phần trăm. X nằm trong phạm vi quan sát −1,2 đến 1,4.

Hình 3 — Mỗi hệ số và sai số dư đều truy ngược được về dữ liệu, thay vì xuất hiện như con số hộp đen.

Cộng bình phương sai số dư cho SSE=0,0389507087. R² là chỉ số độ khớp trong mẫu; ở đây bằng 0,9872710102. R-squared #35 sẽ giải thích giới hạn của nó.

5. Năm bẫy khiến đường thẳng kể sai câu chuyện

Bẫy 1: Biến liên hệ thành quan hệ nhân quả

Hệ số góc chỉ tóm tắt liên hệ. Biến thứ ba, cách chọn mẫu hoặc chiều tác động ngược đều có thể tạo đường nghiêng; nhân quả cần thiết kế nghiên cứu khác.

Bẫy 2: Xóa điểm lạ vì nó làm kết quả xấu

Điểm lạ là quan sát xa hoặc có ảnh hưởng lớn. Thêm (1,8;−1,5) làm hệ số góc còn 0,226277, hệ số chặn thành −0,116302, R² xem trước còn 0,076802.

Điều tra lỗi nhập, sự kiện hay giai đoạn khác. Không xóa điểm chỉ để đường đẹp; nếu có lý do, báo cả hai kết quả.

Bẫy 3: Ép quan hệ cong thành đường thẳng

Phi tuyến nghĩa một đường thẳng không tóm tắt đủ quan hệ. Doanh số ô có thể tăng theo mưa rồi chững. Sai số dư khi đó xếp thành đường cong; biểu đồ quan trọng hơn một chỉ số.

Bẫy 4: Bỏ qua cấu trúc sai số dư và thời gian

Sai số dư nên tạo dải ngẫu nhiên quanh 0, không có hình cong, hình quạt hay điểm nổi bật (Penn State STAT 501 — Assumptions). Với dữ liệu thời gian, chúng có thể nối thành chuỗi; đổi chế độ thị trường cũng làm hệ số cũ mất nghĩa.

Bẫy 5: Ngoại suy ra ngoài vùng đã thấy

Ngoại suy là dùng đường ngoài phạm vi X. Với x=5, ŷ=3,591136, nhưng 5 nằm xa khoảng −1,2 đến 1,4. Đánh dấu ngoài phạm vi thay vì gọi đây là dự báo hợp lệ.

Biểu đồ phân tán ở Correlation #31 là cổng đầu tiên. Dừng nếu hình chấm cho thấy quan hệ cong, ngoại lệ hoặc cụm tách biệt; cũng dừng nếu sai số dư hoặc thời gian cho thấy cấu trúc không phù hợp.

6. Danh sách kiểm tra và bài tập Google Sheets 15 phút

Kiểm bảy cổng:

1. Câu hỏi nêu rõ X dùng để ước lượng Y nào.
2. Hai cột cùng ngày, tần suất và đơn vị; ô thiếu được xử lý nhất quán.
3. Biểu đồ phân tán không cho thấy đường cong rõ hoặc nhiều nhóm bị trộn.
4. Hệ số góc được đọc với cả đơn vị X, Y và không biến thành nhân quả.
5. Sai số dư được xem theo giá trị khớp và theo thời gian.
6. Điểm lạ được điều tra, không tự động xóa.
7. X mới nằm trong phạm vi quan sát; chế độ dữ liệu chưa thay đổi.

Dừng nếu một cổng chưa rõ. Bài tập dùng Google Sheets miễn phí, dữ liệu giả định, chưa dùng tiền thật:

1. Nhập Kỳ/X/Y ở mục 4 vào A2:C9.
2. F2: =SLOPE(C2:C9,B2:B9) → 0,7150412524.
3. F3: =INTERCEPT(C2:C9,B2:B9) → 0,0159297652.
4. D2: =$F$3+$F$2*B2; kéo xuống để tạo giá trị khớp.
5. E2: =C2-D2; kéo xuống để tạo sai số dư.
6. F4: =SUMSQ(E2:E9) → 0,0389507087.
7. F5: =RSQ(C2:C9,B2:B9) → 0,9872710102; chỉ ghi như bản xem trước cho bài #35.
8. Tạo biểu đồ phân tán, thêm đường xu hướng tuyến tính và xem sai số dư từng hàng.
9. Thêm điểm giả định (1,8;−1,5) vào hàng 10. Hệ số góc thành 0,2262773723; ghi nhận độ nhạy rồi hoàn tác.

Google Sheets định nghĩa SLOPE(data_y,data_x) là hệ số góc của đường hồi quy (Google Docs Editors Help — SLOPE); danh sách hàm chính thức ghi cả INTERCEPT và RSQ (Google Sheets function list).

Mẫu đối chiếu đã điền

Thẻ kiểm tra hồi quy ghi câu hỏi, biến, phạm vi, phương trình và điểm dừng:

Hình 4 — Một phương trình chỉ được dùng tiếp khi dữ liệu, sai số dư, phạm vi và điều kiện dừng đều đã ghi rõ.

7. Tổng kết và bài tiếp theo

a. Năm ý chính

• Hồi quy tuyến tính đơn dùng một biến đầu vào để ước lượng phản hồi trung bình bằng đường thẳng.
• Hệ số góc cần đơn vị và phạm vi; hệ số chặn chỉ đáng diễn giải khi x=0 hợp lý.
• Bình phương tối thiểu chọn đường có Σe² nhỏ nhất, không chọn đường “đúng tuyệt đối”.
• Sai số dư, điểm lạ, đường cong, thời gian và chế độ có thể bác bỏ cách đọc đơn giản.
• Không suy nhân quả, không ngoại suy tùy ý và không dùng ví dụ giả định để quyết định tiền thật.

b. Câu hỏi tự kiểm tra

• ŷ khác y ở điểm nào?
• Hệ số góc 0,715 trong ví dụ nên được đọc ra sao?
• Vì sao không cộng sai số dư trực tiếp để đánh giá đường?
• Tại sao kết quả ở x=5 phải dừng?

c. Gợi ý đáp án

Xem gợi ý câu 1

y là giá trị quan sát; ŷ là giá trị trên đường do mô hình ước lượng. Xem mục 1.

Xem gợi ý câu 2

Trong tám kỳ giả định và phạm vi quan sát, X tăng một điểm phần trăm đi cùng Y khớp tăng khoảng 0,715 điểm phần trăm. Không suy nhân quả. Xem mục 2.

Xem gợi ý câu 3

Sai số dư dương và âm có thể triệt tiêu; bình phương giữ mọi đóng góp không âm. Xem mục 3.

Xem gợi ý câu 4

Vì 5 nằm ngoài xa phạm vi X từ −1,2 đến 1,4; đó là ngoại suy chưa được dữ liệu hỗ trợ. Xem mục 5.

d. Thuật ngữ cần nhớ

e. Nguồn tham khảo

• Penn State STAT 501 — Simple Linear Regression
• Penn State STAT 501 — Regression Assumptions
• OpenStax Principles of Finance 2e — Linear Regression Analysis
• NIST/SEMATECH — Linear Least Squares Regression
• OpenStax Introductory Statistics 2e — The Regression Equation
• Google Docs Editors Help — SLOPE

Bài tiếp theo, Multiple Regression #34, thêm nhiều biến đầu vào nhưng cũng thêm nhiều cách hiểu sai. Sau đó R-squared #35 mới đi sâu vào mức độ khớp. Bạn có thể quay lại Quantitative Finance Zero to Hero để xem toàn lộ trình.

Nội dung này phục vụ mục đích giáo dục, không phải lời khuyên đầu tư hoặc tín hiệu giao dịch. Mọi thị trường đều có rủi ro mất vốn.