Nội dung này phục vụ mục đích giáo dục, không phải lời khuyên đầu tư hoặc tín hiệu giao dịch.

Trả lời ngắn: Hiệp phương sai (covariance) đo xem hai biến thường lệch khỏi trung bình cùng chiều hay ngược chiều. Covariance dương cho thấy hai độ lệch thường cùng dấu; covariance âm cho thấy chúng thường trái dấu. Độ lớn không có thang mạnh/yếu chung vì nó thay đổi theo đơn vị đo.

Đọc xong, bạn sẽ hiểu:

  • Vì sao tích hai độ lệch tạo ra dấu của covariance.
  • Phân biệt công thức mẫu với công thức tổng thể.
  • Tính covariance bằng Google Sheets và ghi đúng đơn vị.

Correlation #31 đã dùng một số không đơn vị từ −1 đến +1. Covariance đứng ngay trước bước chuẩn hóa đó. Nó cho ta thấy phần “hai độ lệch đi cùng nhau”, nhưng chưa đưa kết quả về một thước chung.

1. Covariance là gì? Nhìn hai độ lệch đi cùng nhau

Một cặp quan sát gồm giá trị X và Y ghi tại cùng một mốc. Với mỗi biến, trung bình là tổng các giá trị chia số quan sát; xem lại Mean #11. Độ lệch là giá trị trừ trung bình của chính biến đó.

Ví dụ, X cao hơn trung bình 0,4 và Y cao hơn trung bình 0,2. Tích độ lệch là 0,4×0,2=0,08, mang dấu dương. Nếu X cao hơn 0,4 nhưng Y thấp hơn −0,2, tích thành −0,08.

Bốn trường hợp chỉ có hai kết quả về dấu:

  • X trên trung bình, Y trên trung bình: tích dương.
  • X dưới trung bình, Y dưới trung bình: âm nhân âm thành dương.
  • X trên trung bình, Y dưới trung bình: tích âm.
  • X dưới trung bình, Y trên trung bình: tích âm.

Hình 1 — Hai độ lệch cùng dấu đẩy covariance lên, còn trái dấu kéo nó xuống.

Covariance cộng các tích ấy rồi chia cho một mẫu số. Tổng nghiêng dương cho thấy hai biến thường lệch cùng chiều; tổng nghiêng âm cho thấy chúng thường lệch ngược chiều. Gần 0 chỉ nói các tích dương và âm gần cân bằng trong dữ liệu đang xét.

Một ngày nóng có thể làm nhiệt độ và doanh số nước lạnh đều trên trung bình, tạo tích dương. Điều đó vẫn không chứng minh doanh số gây nhiệt độ tăng. Covariance mô tả sự đồng biến, không xác lập quan hệ nhân quả.

2. Công thức mẫu và tổng thể khác nhau ở đâu?

Mẫu là nhóm quan sát đang có để học về một nhóm lớn hơn. Tổng thể là toàn bộ nhóm mà câu hỏi muốn nói tới. Hai trường hợp dùng ký hiệu và mẫu số khác nhau.

Covariance mẫu:

sXY = Σ[(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)]/(n−1)

  • sXY: covariance của mẫu giữa X và Y.
  • xᵢ, yᵢ: cặp thứ i; x̄, ȳ: trung bình mẫu.
  • Σ: cộng qua mọi cặp; n: số cặp trong mẫu.
  • n−1: mẫu số dùng khi lấy mẫu để ước lượng covariance của tổng thể.

Covariance tổng thể:

σXY = Σ[(xᵢ−μX)(yᵢ−μY)]/N

Ở đây μX, μY là trung bình tổng thể và N là số phần tử của toàn bộ tổng thể. NIST trình bày covariance mẫu bằng tổng tích độ lệch chia n−1 (NIST — Mean Vector and Covariance Matrix).

Nếu tám kỳ chỉ là phần dữ liệu quan sát dùng để suy rộng, chọn công thức mẫu. Nếu tám kỳ chính là toàn bộ nhóm cần mô tả, chọn công thức tổng thể. Không được chọn mẫu số theo kết quả mình thích.

Covariance mang đơn vị tích: đơn vị X nhân đơn vị Y. Nếu cả hai cột được nhập dưới dạng điểm phần trăm, kết quả có đơn vị (điểm phần trăm)². Nếu X là centimet và Y là kilogram, đơn vị là cm×kg. Đây là khác biệt quan trọng so với correlation.

3. Ví dụ tám kỳ: từ 4,225 đến 0,603571

Lợi suất là mức thay đổi phần trăm của giá trị trong một kỳ. Dùng lại tám cặp lợi suất hoàn toàn giả định từ bài #31:

Kỳ X (%) Y (%) (X−x̄)(Y−ȳ)
1 −1,2 −0,9 1,456875
2 −0,4 −0,1 0,146875
3 0,2 0,1 −0,000625
4 0,7 0,5 0,179375
5 1,1 0,8 0,593125
6 −0,8 −0,6 0,740625
7 0,5 0,4 0,078125
8 1,4 1,0 1,030625

Trung bình là x̄=0,1875 và ȳ=0,15. Cộng cột cuối:

Σ[(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)] = 4,225

Vì đây là mẫu tám kỳ:

sXY = 4,225/(8−1) = 0,6035714286 (điểm phần trăm)²

Nếu tám kỳ là toàn bộ tổng thể đang mô tả:

σXY = 4,225/8 = 0,528125 (điểm phần trăm)²

Hình 2 — Cùng một tổng 4,225 cho hai kết quả khác nhau vì câu hỏi mẫu và tổng thể khác nhau.

Câu đọc đúng là: “Trong tám cặp lợi suất giả định cùng kỳ, covariance mẫu bằng +0,603571 (điểm phần trăm)², cho thấy các độ lệch thường cùng dấu.” Nó chưa nói quan hệ mạnh đến đâu trên thước chung, không chứng minh nhân quả và không dự báo kỳ tiếp theo.

4. Covariance khác correlation thế nào? Bốn bẫy cần dừng

Correlation chuẩn hóa covariance bằng độ lệch chuẩn của hai biến:

r = sXY/(sX sY)

sX và sY là độ lệch chuẩn mẫu; xem Standard Deviation #15. Vì tử và mẫu có cùng đơn vị tích, đơn vị bị triệt tiêu. OpenStax mô tả Pearson r là covariance chia tích hai độ lệch chuẩn (OpenStax — Correlation Coefficient r).

Bẫy 1: Đọc độ lớn như thang cố định

Đổi riêng X sang basis point, mỗi đơn vị bằng 1/100 điểm phần trăm, tức nhân mọi X với 100, làm covariance mẫu tăng từ 0,603571 lên 60,357143. Mẫu hình và correlation 0,993615 không đổi. Vì vậy dấu covariance đọc được trực tiếp; độ lớn chỉ đọc được sau khi khóa đơn vị.

Hình 3 — Đổi thước đo làm covariance đổi số, còn correlation đã chuẩn hóa nên giữ nguyên.

Bẫy 2: Dương là tốt, âm là xấu

Dấu chỉ nói chiều đồng biến. Dương không tự động tốt; âm không tự động xấu. Ý nghĩa phụ thuộc câu hỏi, dữ liệu và cơ chế. Nhân toàn bộ Y với −1 trong ví dụ làm covariance thành −0,603571, nhưng đó chỉ là phép đổi dấu có chủ ý.

Bẫy 3: Covariance bằng 0 nghĩa là độc lập

Độc lập nghĩa biết X không làm đổi toàn bộ mẫu hình giá trị và xác suất của Y. Covariance gần 0 chỉ nói tích độ lệch trung bình gần 0. Một quan hệ cong vẫn có thể cho covariance bằng 0, nên phải xem biểu đồ phân tán.

Bẫy 4: Bỏ qua cặp dữ liệu và giai đoạn

Lệch ngày, khác tần suất, ô trống bị bỏ không đều hoặc một điểm ngoại lệ có thể đổi kết quả. Quan hệ cũng có thể đổi giữa hai giai đoạn. Phải dừng nếu chưa kiểm những điểm này.

Khi có nhiều biến, ma trận covariance là bảng vuông: ô trên đường chéo ghép mỗi biến với chính nó nên là variance, tức trung bình bình phương độ lệch; xem Variance #14. Các ô ngoài đường chéo là covariance giữa từng cặp. NIST xác nhận ma trận đối xứng và hai ô Cov(X,Y)/Cov(Y,X) bằng nhau (NIST — Variance-Covariance Matrix). Bài này dừng ở cách đọc, chưa làm đại số ma trận.

5. Danh sách kiểm tra và bài tập 15 phút

Bắt đầu từ đâu?

Dùng Google Sheets miễn phí, 15 phút, dữ liệu giả định và chưa dùng tiền thật:

  1. Nhập Kỳ/X/Y ở mục 3 vào A2:C9.
  2. D2: =B2-AVERAGE($B$2:$B$9); E2 tương tự cho C; F2: =D2*E2, kéo xuống.
  3. =SUM(F2:F9) → 4,225.
  4. =COVARIANCE.S(B2:B9,C2:C9) → 0,6035714286.
  5. =COVARIANCE.P(B2:B9,C2:C9) → 0,528125.
  6. =CORREL(B2:B9,C2:C9) → 0,9936151218.
  7. G2: =B2*100, kéo xuống; covariance với Y thành 60,35714286, correlation không đổi.

Google Sheets định nghĩa COVARIANCE.S cho dữ liệu là mẫu của tổng thể (Google Docs Editors Help — COVARIANCE.S).

Kiểm bảy cổng: hai cột cùng mốc; số cặp bằng nhau; không thiếu dữ liệu; đã chọn mẫu hay tổng thể; đơn vị được ghi; điểm lạ đã kiểm; kết luận không nói nhân quả. Đứng ngoài nếu một cổng chưa rõ.

Mẫu đối chiếu đã điền

Thẻ kiểm tra covariance là bảng một trang ghi phạm vi, mẫu số, đơn vị, kết quả và điểm dừng:

Trường Nội dung mẫu
Câu hỏi X/Y lệch khỏi trung bình cùng chiều trong tám kỳ giả định?
Phạm vi 8 cặp lợi suất điểm %, cùng kỳ
Công thức Mẫu, mẫu số n−1=7
Tổng tích 4,225
Kết quả +0,603571 (điểm phần trăm)²
So với correlation r=0,993615, không đơn vị
Điểm dừng Lệch ngày, thiếu cặp, đơn vị mơ hồ hoặc giai đoạn đổi

Hình 4 — Thẻ giữ câu hỏi và đơn vị cạnh kết quả, còn ma trận cho thấy covariance nằm ở hai ô đối xứng.

Đổi đơn vị X rồi so hai kết quả là phân tích độ nhạy: thay đầu vào có chủ ý để xem kết luận đổi ra sao, không chỉnh dữ liệu cho số đẹp.

6. Tổng kết và bài tiếp theo

a. Năm ý chính

  • Covariance cộng các tích độ lệch để đo chiều đồng biến.
  • Covariance mẫu chia n−1; covariance tổng thể chia N.
  • Dấu nói cùng/ngược chiều, còn độ lớn phụ thuộc đơn vị.
  • Correlation là covariance đã chuẩn hóa bằng hai độ lệch chuẩn.
  • Luôn khóa cặp dữ liệu, phạm vi, đơn vị và điểm dừng trước khi kết luận.

b. Câu hỏi tự kiểm tra

  • Vì sao hai độ lệch cùng âm tạo đóng góp dương?
  • Khi nào dùng COVARIANCE.S thay vì COVARIANCE.P?
  • Vì sao đổi X sang basis point làm covariance đổi mà correlation không đổi?
  • Covariance gần 0 có chứng minh độc lập không?

c. Gợi ý đáp án

Xem gợi ý câu 1

Âm nhân âm thành dương, nên hai biến cùng dưới trung bình vẫn đóng góp cùng chiều. → xem mục 1.

Xem gợi ý câu 2

Dùng `.S` khi dữ liệu là mẫu để học về tổng thể; dùng `.P` khi dữ liệu là toàn bộ tổng thể cần mô tả. → xem mục 2 và 5.

Xem gợi ý câu 3

Covariance giữ đơn vị tích nên tăng theo thang đo; correlation đã chia hai độ lệch chuẩn nên không còn đơn vị. → xem mục 4.

Xem gợi ý câu 4

Không. Nó chỉ cho thấy ít đồng biến tuyến tính trung bình; quan hệ cong vẫn có thể tồn tại. → xem mục 4.

d. Thuật ngữ cần nhớ

Thuật ngữ Giải thích ngắn
Covariance Mức hai biến lệch khỏi trung bình cùng hay ngược chiều.
Cặp quan sát X và Y được ghi tại cùng một mốc.
Độ lệch Giá trị trừ trung bình của biến.
Tích độ lệch Tích độ lệch X và Y của một cặp.
Covariance mẫu Tổng tích độ lệch chia n−1.
Covariance tổng thể Tổng tích quanh trung bình tổng thể chia N.
Đơn vị tích Đơn vị X nhân đơn vị Y.
Correlation Covariance được chuẩn hóa, không còn đơn vị.
Ma trận covariance Bảng variance và covariance của nhiều biến.
Phân tích độ nhạy Đổi đầu vào có chủ ý rồi so kết quả.

e. Nguồn tham khảo

Bài trước: Correlation #31. Bài tiếp theo: Linear Regression #33, nơi ta dùng quan hệ tuyến tính để ước lượng một đường thẳng. Xem toàn bộ lộ trình tại Quantitative Finance Zero to Hero.

Nội dung này phục vụ mục đích giáo dục, không phải lời khuyên đầu tư hoặc tín hiệu giao dịch. Mọi thị trường đều có rủi ro mất vốn.